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\parindent=0pt
\title{生物统计学第四次习题课内容补充与纠正}
\author{Augix}
\date{\today} % Activate to display a given date or no date
\begin{document}
\maketitle
\section{补充证明: $ cov(X, X) = DX $} % This command makes a section title.
证：根据协方差的定义：
$ cov(X, Y) = E[(X-EX)(Y-EY)] $，于是，
\begin{eqnarray*}
cov(X, X) & = & E[(X-EX)(X-EX)]\\
& = & E[(X^2 - 2XEX+(EX)^2]\\
& = & E(X^2) -2 EXEX + (EX)^2]\\
& = & E(X^2) - (EX)^2
\end{eqnarray*}
又，$ DX = E(X^2) - (EX)^2 $ (课本78页)，所以，$ cov(X, X) = DX $，证毕.
另外，相关系数
\begin{eqnarray*}
\rho_{XX} &=& \frac{cov(x,x)}{\sqrt{DX} \sqrt{DX}}\\
&=& \frac{DX}{DX}\\
&=& 1
\end{eqnarray*}
\newpage
\section{纠正：课本93页第22题}
解：首先考察变量的取值范围，
因为，$ 0 < x < 1$, $|y|<x$，\\
所以$x, y$的取值范围如Figure 1所示，每一对$(x,y)$都落在红色区域内.
% Put graphics
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\caption{$X, Y$的取值范围}\label{fig:DS}
\includegraphics[scale=0.5]{figure1.png}
\end{center}
\end{figure}
这里方便起见，首先证明$X, Y$不独立. 也就是证明 $ p(x,y) \neq p(x) p(y) $（课本56页）.\\
\\
首先看$p(x)$，对于某一确定值$x$，$p(x)$是$X$在$x$这一点的概率密度，那么对于这一定值$x$，$Y$的取值范围是限定在$(-x,x)$的，于是$p(x)=\int_{-x}^x p(x,y) dy = \int_{-x}^x dy = 2x$. 那么，
%\begin{equation*}
$p(x) =
\begin{cases} 2x, & 0<x<1 \\0, & \text{其他.}
\end{cases}
$
%\end{equation*}
\\
至于为何求$X$的边缘分布密度时要对$Y$作积分，可以用全概率公式理解（课本21页）. 可以把$X$的取值理解为事件$B$，$Y$的取值理解为事件$A$.\\
\\
然后对于$Y$的边缘分布密度，就是在$(-1,1)$中对于任一确定值$y$求$p(y)$，这个时候$Y$是固定的，\textcolor{red}{$X$的取值范围并不是$(0,1)$，而是$(|y|,1)$，这是需要纠正的地方}. 于是$ p(y) = \int_{|y|}^1 dx = 1 - |y| $. 那么，
%\begin{equation*}
$p(y) =
\begin{cases} 1-|y|, & -1<y<1 \\0, & \text{其他.}
\end{cases}
$
%\end{equation*}
\\
因此，
\begin{eqnarray*}
p(x) p(y) & = & 2x (1-|y|)\\
p(x,y) & = & 1 \text{（题干）}\\
p(x,y) & \neq & p(x) p(y)
\end{eqnarray*}
所以，$X, Y$不独立. \\
\\
第二部分证明$X, Y$不相关. 只需证明$cov(X, Y) = 0$.
\begin{eqnarray*}
cov(X,Y) &=& E[(X-EX)(Y-EY)]\\
&=& E[XY - XEY -YEX + EXEY]\\
&=& E(XY) - EXEY -EYEX + EXEY\\
&=& E(XY) - EXEY
\end{eqnarray*}
根据求解出的概率密度函数$p(x), p(y)$，有
\begin{eqnarray*}
E(X) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} x p(x) dx = \int_0^1 2 x^2 dx = \left.\frac{2}{3} x^3 \right|_0^1 = \frac{2}{3}\\
E(Y) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} y p(y) dy = \int_{-1}^1 y(1-|y|) dy
\end{eqnarray*}
其实，$1-|y|$ 是偶函数，$y(1-|y|)$ 是奇函数，所以 $E(Y) = 0$.\\
如果要细致地化解，那么，
\begin{eqnarray*}
E(Y) &=& \int_{-1}^0 y (1+y) dy + \int_{0}^1 y (1-y) dy\\
&=& \int_{-1}^0 (y+y^2) dy + \int_{0}^1 (y-y^2) dy\\
&=& \left.\frac{1}{2} y^2 \right|_{-1}^0 + \left.\frac{2}{3} y^3 \right|_{-1}^0 + \left.\frac{1}{2} y^2 \right|_{0}^1 - \left.\frac{2}{3} y^3 \right|_0^1\\
&=& -\frac{1}{2} +\frac{2}{3} +\frac{1}{2} -\frac{2}{3}\\
&=& 0
\end{eqnarray*}
\newpage
至于$E(XY)$，参考课本75页定理（关于Z的数学期望，定理的证明超出课程范围），有
\begin{eqnarray*}
E(XY) &=& \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} xy dxdy\\
&=& \int_0^1 \int_{-x}^x xy dxdy\\
&=& \int_0^1 dx \left.\left(\frac{1}{2}x y^2 \right) \right|_{y=-x}^{y=x}\\
&=& 0
\end{eqnarray*}
所以，$cov(X,Y) = E(XY) - EXEY = 0 - 0 = 0$，X 和 Y 不相关.
另外，也可根据以下公式求解 X 和 Y 的协方差（课本83页）.\\
$cov(x,y) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} (x-EX) (y-EY) p(x,y) dxdy.$\\
\\
实际上对于红色区域内的任意一点$(x,y)$，$p(x,y)$都等于1，是均匀的，试想我们把数字$X$均匀地放在红色区域内，那么当我们沿着横坐标从0向1移动时，我们看到的样本点是越来越多的，而且这些样本点上面的数字也越来越大. 当我们把平面内的数字$X$都拿掉，把数字Y放上去时，从-1到1移动，我们看到的样本点先变多，然后变少，我们看到最多的是0，然后镜面对称的正值和负值看到的次数一样多. 最后，我们也可以把$X$和$Y$的乘积均匀放在红色区域内，不难推测，其实乘积的期望也将是0.\\
\\
\end{document}
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